Dr. Marco Tusche
Ruhr-Universität Bochum
Fakultät für Mathematik
Lehrstuhl XII
Universitätsstraße 150
44780 Bochum
E-Mail: Marco.Tusche"at"RUB.de
Seit dem 01.10.2014 bin ich nicht mehr an der Ruhr-Universität.
Forschung
Neue Techniken für empirische Prozesse abhängiger Daten (DFG Projekt DE 370-4)
In diesem Kooperationsprojekt mit Dr. Olivier Durieu von der Université François-Rabelais de Tours (Frankreich) untersuchen wir das asymptotische Verhalten empirischer Prozesse abhängiger Daten. 2009 entwickelten Dehling, Durieu und Volný (2009) in einer gemeinsamen Arbeit eine neue Technik zum Beweis empirischer zentraler Grenzwertsätze für abhängige stationäre Prozesse.
Das Hauptinteresse galt hierbei Prozessen, für die ein zentraler Grenzwertsatz unter Funktionalen aus bestimmten Funktionenklassen durch Anwendung der Spektrallücken-Methode bewiesen werden kann.
Später erweiterten Dehling und Durieu (2011) diesen Ansatz um Anwedungen für Prozesse mit einer multiplen Mischungseigenschaft und konnten z.B. einen empirischen zentralen Grenzwertsatz für egodische Automorphismen des multidimensionalen Torus beweisen.
Da in den o.g. Situationen u.U. keine endlich dimensionale Konvergenz des empirischen Prozesses a priori gegeben ist, lässt sich der übliche Prohorov'sche "endlich-dimensionale-Konvergenz-und-Straffheit"-Ansatz nur schwer ausführen. Bei unserem Ansatz wird der ursprüngliche empirsche Prozess durch einen empirischen Prozess über einer Funktionenklase mit besseren analytischen Eigenschaften approximiert. Basierend auf einem modifizierten Satz von Billingsley (1968, Theorem 4.2), erlaubt diese Methode es schließlich, bei hinreichender Ähnlichkeit der empirischen Prozesse, das asymptotische Verhalten des ursprünglichen Prozesses mit Hilfe des approximierenden Prozesses zu bestimmen.
Im Rahmen meiner Forschungstätigkeit konnten wir die o.g. Technik auf die folgenden Fälle ausweiten:
- Prozesse mit schwächeren Mischungseigenschaften: Wir zeigen wie sich empirische zentrale Grenzwertsätze auch für Prozesse mit polynomialem Abhängigkeitsrückgang beweisen lassen.
- Empirische Prozesse über allgemeinen Funktionenklassen: Wir untersuchen empirische Prozesse, die als Indexmenge eine allgemeinere Funktionenklasse als die üblichen Rechteck-Indikatorfunktionen haben.
- Sequentielle Empirische Prozesse: Erweitert man den empirischen Prozess um einen zusätzlichen, die Anzahl der Summanden des Partialsummenprozesses begrenzenden, Zeitparameter, so erhält man den sogenannten sequentiellen empirischen Prozess. Konvergiert dieser in Verteilung gegen einen Kiefer-Müller Prozess (das natürliche sequentielle Pendant zu einem Gauss'schen Prozess), so spricht man von einem sequentiellen empirischen zentralen Grenzwertsatz. Derartige Grenzwertsätze finden Anwendung bei der Untersuchung der asymptotischen Verteilung von auf der empirischen Verteilung basierenden Strukturbruchtests.
Aktuelle Forschung
Multipliziert man den empirischen Prozess mit einer Funktion des zugehörigen Indexes, so erhält man einen sogenannten gewichteten empirischen Prozess. Aus der Konvergenz des gewichteten empirischen Prozesses läßt sich die Asymptotik empirischer U-Prozesse ableiten. Zur Zeit entwickeln wir eine Technik zur Behandlung des gewichteten empirischen Prozesses multipel mischender Daten.
Veröffentlichungen
H. Dehling, O. Durieu, and M. Tusche (2014 b): A Sequential Empirical Central Limit Theorem for Multiple Mixing Processes with Application to B-Geometrically Ergodic Markov Chains. Electronic Journal of Probability, 19, article 87. [arXiv 1303.4537].
H. Dehling, O. Durieu, and M. Tusche (2014 a): Approximating Class Approach for Empirical Processes of Dependent Sequences Indexed by Functions. Bernoulli. 20, no. 3, p. 1372–1403. [arXiv 1201.2256].
M. Tusche (2014): Empirical Processes of Multiple Mixing Data. Dissertation. Ruhr-University Bochum and Université François-Rabelais de Tours.
A. El-Hadidy, C. Rehtanz, M. Tusche, and C. Langesberg (2013): Investigation of the effect of current and voltage transformers' errors on a differential-like impedance relaying algorithm — Protection from a probabilistic view . PowerTech, IEEE Grenoble. Published electronically 2013. DOI: 10.1109/PTC.2013.6652261. Online available on IEEE Xplore Digital Library.
O. Durieu, M. Tusche (2012): An empirical process central limit theorem for multidimensional dependent data. Journal of Theoretical Probability. 27, no. 1, p. 249-277. [arXiv 1110.0963].
Poster: An Outer Bracketing Approach for Empirical Process CLTs of Weakly Dependent Data
Referenzen
P. Billingsley (1968): Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons Inc., New York.
H. Dehling, O. Durieu, and D. Volný (2009): New techniques for empirical processes of dependent data. Stochastic Process. Appl. 119, no. 10, p. 3699–3718
H. Dehling, O. Durieu (2011): Empirical processes of multidimensional systems with multiple mixing properties. Stochastic Process. Appl. 121, no. 5, p. 1076–1096
Verschiedenes
Interdisziplinäre Kooperation
Aus einem Gespräch mit einem Bekannten über unsere Forschungsbereiche entwickelte sich die Idee, eine Fragestellung aus dem Bereich der Elektrotechnik mithilfe kumulativer Verteilungsfunktionen zu behandeln. Dieser interdisziplinäre Ansatz wurde 2013 auf einer Fachkoferenz des "Institute of Electrical and Electronics Engineers" (IEEE) in Grenoble vorgestellt und führte zu der Publikation El-Hadidy, Rehtanz, Tusche und Langesberg (2013), s.o..
Doktorandinnen- und Doktorandentreffen Stochastik 2011
Im Herbst 2011 fand an der Ruhr-Universität Bochum das siebte Doktorand/innentreffen der Stochastik statt, welches ich gemeinsam mit Katharina Proksch organisiert habe.
Diese Konferenz war an alle Doktoranden der Stochastik im deutschsprachigen Raum (DACh) gerichtet und gab den Teilnehmenden die Gelegenheit, ihre Forschungsbereiche vorzustellen und einen Überblick über die Forschung anderer junger Wissenschaftler zu erhalten [Programm].
Diplomarbeit
Bei Strukturbruchtests kann das Maximum normierter Zuwächse von Irrfahrten eine nützliche Teststatistik sein. Mikosch und Račkauskas (2010) konnten zeigen, dass derartige Teststatistiken im Fall unabhängig identisch verteiter Daten mit schweren Verteilungsrändern (heavy tails) unter moderaten Annahmen in Verteilung gegen eine Frechet-Verteilung (Extremwertverteilung) konvergieren.
In meiner Diplomarbeit wird Mikoschs und Račkauskas' Beweis detailliert diskutiert und um die übersprungenen Beweisschritte ergänzt. Insbesondere stelle ich die hierzu benötigte Theorie der zufälligen Maße und Punktprozesse (inklusive der relevanten topologischen und wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen) ausführlich vor und verdeutliche sie in ihrer Anwendung.
T. Mikosch and Alfredas Račkauskas (2010): The limit distribution of the maximum increment of a heavy-tailed random walk. Bernoulli 16, no.4, 1016-1038. Preprint: [State: April 9, 2009]