A

Assoziativität

Eine Verknüpfung "o" heißt genau dann assoziativ, wenn für alle x, y, z aus dem Definitionsbereich von "o" gilt:

(x o y) o z = x o (y o z)

B

C

D

Definiendum

Lat. "das, was zu definieren ist" (Gerundivum).

Vgl.: Definition

Definiens

Lat. "das Definierende" (Partizip Präsens)

Vgl.: Definition

Definition

Durch Definitionen werden willkürlich neue Begriffe eingeführt. Was die Definition sagt, ist "per definitionem" wahr. Definitionen können daher nicht falsch, wohl aber sinnlos sein. Alles, was man mit diesen neuen Begriffen ausdrücken kann, kann man (zumindest in Logik und Mathematik) auch ohne diese Definitionen sagen: Definitionen lassen sich eliminieren.

Sätze hingegen sind Behauptungen über die zuvor definierten Begriffe; sie können wahr oder falsch sein und müssen daher bewiesen werden.

Eine Definition hat standardmäßig die Struktur:
Das Definiendum (lat.: das, was zu Definieren ist; Gerundivum) wird definiert durch das Definiens (lat.: das Definierende; Partizip Präsens).

Definitionen geben notwendige und hinreichende Bedingungen für die Anwendung eines neuen Begriffs an. Man verwendet dafür die Formulierung "genau dann, wenn", die oft durch gdw abgekürzt wird. (Im Englischen steht iff für "if and only if"!)

E

Element

Vgl.: Menge

F

Funktion

Seien A und B Mengen. Dann ist f eine Funktion von der Menge A (dem Definitionsbereich) in die Menge B (der Bildmenge), gdw f die die folgenden Eigenschaften hat:

• f ist eine Teilmenge von A × B.
• f ordnet jedem Element a (Linkstotalität) aus dem Definitionsbereich A genau ein Element b aus der Bildmenge B zu (Rechtseindeutigkeit).

Korollar 1: Für jedes a aus A gibt es in der Paarmenge f genau ein á a, bñ . Element von f ist. D.h. eine Funktion ist eindeutig.

Korollar 2: Es ist möglich, daß es zu einem b aus B mehrere Paare á a_i, bñ in der Paarmenge f gibt, in denen b das zweite Element ist. D.h. eine Funktion ist nicht immer eineindeutig.

G

gdw

Abk. für "genau dann, wenn"

H

I

Identität von Mengen

Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Mengen können den Austausch von Elementen also nicht "überleben"; die "gleiche" Menge kann nicht zu verschiedenen Zeitpunkten nicht verschiedene Elemente haben: Andere Elemente, andere Menge.

Aus der Definition folgt, daß die Ordnung der Elemente für eine Menge irrelevant ist. Es gilt: {a, b} = {b, a}.

Aus der Definition folgt auch, daß Wiederholungen von Elementen für eine Menge irrelevant sind. Es gilt: {a, a} = {a}.

iff

engl. Abk. für "if and only if" ("genau dann, wenn")

Vgl.: gdw

J

K

Kommutativität

Eine Verknüpfung "o" heißt genau dann kommutativ, wenn für alle x, y aus dem Definitionsbereich von "o" gilt:

x o y = y o x

Kontradiktorizität

Zwei Aussagen sind zueinander kontradiktorisch, wenn die eine dann und nur dann wahr ist, wenn die andere falsch ist.

Kontrarität

Zwei Aussagen sind zueinander konträr, wenn beide nicht zusammen wahr, eventuell aber zusammen falsch sein können.

L

Leere Menge

Die leere Menge Æ ist diejenige Menge, die keine Elemente erhält.

Logik

Logik ist die Wissenschaft des Wörtchen "also", d.h. die Wissenschaft, die zu systematisieren versucht, unter welchen Bedingungen die Behauptung, einen gültigen Schluß vorgebracht zu haben, als gerechtfertigt gelten kann.

Logik ist also die Lehre vom korrekten Schließen.

M

Menge

Mengen sind Ansammlungen von Elementen. Als Namen für Mengen dienen in der Regel lateinische Großbuchstaben: A, B, C, … (häufig mit doppeltem Strich an ihrer linken Seite).

Mengen enthalten Elemente. Umgekehrt sagt man, daß Elemente Element von bestimmten Mengen sind (oder auch nicht). Diese Relation "ist Element von" stellt man durch das Zeichen "Î " dar; die Relation "ist nicht Element von" durch das Zeichen "Ï ".

Mengen kann man z.B. als durch Kommata getrennte Auflistung der Elemente in geschweiften Klammern (sog. Mengenklammern) darstellen: Die Menge der Primzahlen unter 10 ist {2, 3, 5, 7}.

Mengen sind "raumlos" und "zeitlos". Sie zählen daher zu den "abstrakten Entitäten".

Vgl.: Identität von Mengen

N

n-Tupel

Ein n-Tupel áa₁, a₂, a₃, …, a_nñ ist ein geordnetes Gebilde aus n Elementen.

Bemerkungen: Für n-Tupel etc. ist die Ordnung relevant:

áa, bñ ¹ áb, añ

Für n-Tupel sind Wiederholungen relevant:

áa, a, añ ¹ áa, añ ¹ a

O

Organon

gr. Werkzeug

Sammelbezeichnung für die logischen Schriften des Aristoteles. Es besteht aus:

1. der Kategorienschrift, lat. Categoriae (Thema: Zehn grundlegende Arten von Prädikaten)

2. der Schrift "Über das Verstehen", lat. De interpretatione, gr. Peri hermeneias (Thema: Aussagen und ihre Gegensätze)
3. den Ersten Analytiken, lat. Analytica Priora (Thema: die beiden ersten formalisierenden Logiken: die assertorische Syllogistik [Buch I 1-7] und die Modal- oder Möglichkeitssyllogistik)
4. die Zweiten Analytiken, lat. Analytica Posteriora (Thema: die Wissenschaftstheorie)
5. die Topik, lat. Topica (Thema: anerkannte, aber nicht formalisierte Schlüsse)
6. die Sophistischen Widerlegungen, gr. Sophistikai elenchai = Top. X (Thema: Fehlschlüsse, wahrscheinlich entstanden in Auseinandersetzung mit den Sophisten)

Die klassische Aufgabenzuweisung im Organon als Lehrbuch:

• [Definitionslehre: Porphyrius’ Isagogê]
• Logik der Begriffe: Kategorienschrift
• Logik der Urteile: De Interpretatione
• Logik der Schlüsse: Analytiken, Topik

"Da die Logik aber Vernunftwissenschaft genannt wird, ist es notwendig, daß sich ihre Betrachtung auf das bezieht, was zu den drei oben erwähnten Tätigkeiten der Vernunft gehört. Was zur ersten Tätigkeit des Intellekts gehört, das heißt, was durch den einfachen Begriff erfaßt wird, behandelt Aristoteles im Buch der Kategorien. Was zur zweiten Tätigkeit gehört, nämlich die bejahende und die verneinende Aussage, behandelt der Philosoph im Buch Über die Auslegung. Was zur dritten Tätigkeit gehört, behandelt er im Buch der Ersten Analytiken und in den ihm folgenden, in denen der Schluß an sich und die verschiedenen Arten von Schlüssen und Argumentationen behandelt werden, in denen die Vernunft von einem zum anderen schreitet."
(Thomas von Aquin, In Perihermeneias, Proemium 4, übers. Cheneval/Imbach; vgl. Otto von Freising, Chronik II 8)

P

Paarmenge

Eine Menge die aus Tupeln besteht, nennt man Paarmenge.

Beispiele:

A= {áSokrates, Platonñ, áPlaton, Aristotelesñ, áAristoteles, Theophrastñ}

B= {á2, 1ñ , á3, 2ñ , á4, 3ñ , á5, 4ñ , á6, 5ñ}

Produktmenge (kartesisches Produkt)

Seien A, B und C Mengen. Dann ist C die Produktmenge von A und B (C = A × B), gdw C die Paarmenge aus allen Paaren áa, bñ ist, für die gilt: a Î A und b Î B.

Beispiel: A= {1, 2}, B= {a, b, c}, A×B = {á1, añ , á1, bñ , á1, cñ , á2, añ , á2, bñ , á2, cñ }

Allgemein ist das kartesische Produkt aus n Mengen A₁, A₂, …, A_n die Menge aus allen n-Tupeln áa₁, a₂, …, a_nñ , für die gilt: a₁ Î A₁, a₂ Î A2, …, a_n Î A_n.

Q

Quadrupel

Ein Quadrupel áa, b, c, dñ ist ein geordneter Vierling von Elementen.

Vgl. n-Tupel

R

Reflexivität

Eine Relation R heißt genau dann reflexiv, wenn für alle x aus dem Definitonsbereich von R gilt:

Rxx.

Relation

Eine zweistellige Relation R kann als Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen A und B dargestellt werden, die die Tupel aus denjenigen Elementen enthält, zwischen denen die Relation R besteht.

Allgemein ist eine n-stellige Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von n Mengen A₁, ..., A_n.

Beispiel 1: A= {áSokrates, Platonñ, áPlaton, Aristotelesñ, áAristoteles, Theophrastñ} repräsentiert die Relation "… ist Lehrer von …" auf der Menge M = {Sokrates, Platon, Aristoteles, Theophrast}. A ist Teilmenge von M ´ M

Beispiel 2: B= {áa, 1ñ , áb, 2ñ , ác, 3ñ, ád, 4ñ , áe, 5ñ} repräsentiert die Relation "… ist …-ter Buchstabe des Alphabets" für die ersten fünf Buchstaben. B ist Teilmenge von {a, b, c, d, e} ´ {1, 2, 3, 4, 5}.

Restmenge

Seien A, B und C Mengen. Dann ist C Restmenge von A und B (C = A \ B; "\" lies "ohne"), gdw C genau diejenigen Elemente enthält, die in A, aber nicht in B enthalten sind.

S

Satz

Ein Satz ist eine eines Beweises bedürftigte Behauptung.

Vgl.: Definition

Schluß

Ein Schluß ist der Kontext des ernsthaften Gebrauchs des Wörtchens "also" zwischen Sätzen.

Schluß, gültiger

Ein gültiger Schluß (engl. valid) ist der Kontext des ernsthaften und berechtigten Gebrauchs des Wörtchens "also" zwischen Sätzen.

Schnittmenge

Seien A, B und C Mengen. Dann ist C Schnittmenge von A und B (C = A Ç B), gdw C genau diejenigen Elemente enthält, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

Subalternität

Eine Aussage ist subaltern zu einer anderen, wenn diese nicht falsch sein kann, wenn die erste wahr ist.

Subkontrarität

Zwei Aussagen sind zueinander subkonträr, wenn beide nicht zusammen falsch, eventuell aber zusammen wahr sein können.

syllogismos (gr.)

Aristoteles’ Definition des "syllogismos": "Ein Schluß ist eine Rede, in der, indem einiges vorausgesetzt wird, etwas vom Vorausgesetzten Verschiedenes mit Notwendigkeit dazukommt" (Analytica Priora I 1, 24b19-21).

Während Aristoteles in den Analytiken, mit dieser Definition beginnend, den Syllogismus im technischen Sinn behandelt, heißt "syllogismos" in der Topik (wo Aristoteles genau dieselbe Definiton benutzt) soviel wie "deduktives Argument".

Symmetrie

Eine Relation R heißt genau dann symmetrisch, wenn für alle x, y aus dem Definitionsbereich von R gilt:

Rxy genau dann, wenn Ryx.

T

Teilmenge

Seien A und B Mengen. Dann ist A Teilmenge von B (symbolisch: A Í B) gdw alle Elemente aus A auch in B enthalten sind.

Teilmenge, echte

Seien A und B Mengen. Dann ist A echte Teilmenge von B (A Ì B), gdw A Teilmenge von B, aber nicht mit B identisch ist.

Transitivität

Eine Relation R heißt genau dann transitiv, wenn für alle x, y, z aus dem Definitionsbereich von R gilt:

Wenn Rxy und Ryz, dann auch Rxz.

Tripel

Ein Tripel á a, b, cñ ist ein geordneter Drilling von Elementen.

Vgl.: n-Tupel

Tupel

Ein Tupel (a, b) ist ein geordnetes Paar von Elementen.

Vgl.: n-Tupel

U

V

Vereinigungsmenge

Seien A, B und C Mengen. Dann ist C Vereinigungsmenge von A und B (C = A È B), gdw C genau diejenigen Elemente enthält, die in A oder in B oder in beiden enthalten sind.

W

X

Y

Z