schule@ruhr-uni-bochum.math — ein Schnuppertag zum Jahr der Mathematik 2008

Zum Jahr der Mathematik veranstaltet die Ruhr-Universität Bochum gemeinsam mit dem Ministerium für Schule und Weiterbildung am Donnerstag, dem 11. September 2008, einen "Schnuppertag", an dem schülergerechte Vorlesungen und Workshops angeboten werden. Es nehmen circa 500 Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufen 9 bis 13 zusammen mit ihren Mathematiklehrerinnen und -lehrern daran teil. Die für diesen Zweck ausgewählten Schulklassen stammen aus dem Ruhrgebiet und seiner Umgebung.

                          → Zur Pressemitteilung: Codeknackern über die Schulter geschaut

Es werden schülergerechte Vorlesungen und interessante Workshops angeboten, die auch den (all-)täglichen Mathematikunterricht bereichern werden:

Die Vorträge:

Prof. Dr. L. Gerritzen:	Zur Geschichte der Zahlsprechweisen
Prof. Dr. G. Laures:	Mathematik und Knoten - über Verwirrungen und Lösungen
Prof. Dr. A. May:	Mathematik und Geheimnisse - Über den Wettlauf zwischen Codeentwicklern und Codeknackern

Die Vorträge finden ab 10.30 Uhr statt.

Die Workshops:

1. "Codeknacken"
2. Mathematik und Knoten - über Verwirrungen und Lösungen
3. Modulares Rechnen und das kryptografische Schlüsselvereinbarungsprotokoll von Diffie – Hellman
4. Parabeln noch von Hand gemacht
5. Zaubern mit Mathematik
6. Ein Flug mit der Spidercam – als Einstieg in die Analytische Geometrie
7. "Randomized-Response-Technik" oder "Wie man auch auf unangenehme Fragen gute Antworten erhält"
8. Splines

Die Workshops finden ab 13:30 Uhr statt.

Der gesamte Zeitplan:

Die Workshops im Detail:

Workshop 1: "Codeknacken"

Voraussetzungen: Für Schüler jeder Klassenstufe geeignet. Wir bieten unterschiedliche Workshops an, die an die verschiedenen mathematischen Fähigkeiten in den jeweiligen Klassenstufen angepasst sind. Der Workshop "Codeknacken" gibt eine Einführung in einfache Codierverfahren wie z. B. Substitutions- und Transpositionschiffren. Die Codierverfahren sollen anschließend von den Kursteilnehmern gebrochen werden. D. h. die Kursteilnehmer erhalten chiffrierte Nachrichten, die sie entschlüsseln sollen, um die zugrunde liegende Nachricht lesen zu können. Das Codeknacken soll vorwiegend per Hand aber auch rechnergestützt durchgeführt werden. Weiterhin wird ein Protokoll zum Aufteilen eines Geheimnisses in Teilgeheimnisse vorgestellt. Ein einzelnes Teilgeheimnis verrät dabei keinerlei Information über das Geheimnis selbst. Das Geheimnis kann nur dann rekonstruiert werden können, wenn genügend viele Teilnehmer ihre Teilgeheimnisse verknüpfen.

Workshop 2: Mathematik und Knoten - über Verwirrungen und Lösungen

Knoten begegnen uns im Alltag beim Schuhebinden oder beim Segeln. Wir stellen uns die Frage, wie man durch bloßes Hinsehen und mit Mathematik erkennen kann, ob zwei Knoten durch eine Bewegung im Raum ineinander überführt werden können. Hierzu werden wir die Knoten mathematisch modellieren und ihnen nach einer strengen Vorschrift Polynome zuordnen, also algebraische Objekte, mit denen man rechnen kann. Sind die Knoten nicht zu wild, so lässt sich die Antwort auf die Überführbarkeit der Knoten an deren Polynomen ablesen. In dem Workshop soll dieses Vorgehen an einigen Knoten illustriert werden.

Workshop 3: Modulares Rechnen und das kryptografische Schlüsselvereinbarungsprotokoll von Diffie – Hellman

Das modulare Rechnen wurde von dem 1777 geborenen Carl Friedrich Gauss in seinem 1801 erschienenen Werk „Untersuchungen über höhere Arithmetik“ in systematischer Weise eingeführt. Ist n eine natürliche Zahl >1, so wird eine modulare Addition +n und eine modulare Multiplikation ⊕n auf der Menge der Zahlen zwischen 0 und n-1 dadurch eingeführt, dass a +n b (bzw. a ⊕ n b) der Rest der Summe a + b (bzw. des Produktes a ⊕ b) nach Division durch n ist. Rechenregeln für diese Operationen modulo n sollen erarbeitet werden. Im Diffie – Hellman – Protokoll, das im Jahre 1976 bekannt wurde, verwenden zwei Personen, die oft Alice und Bob genannt werden, das modulare Potenzieren modulo einer etwa 80 – stelligen Primzahl n, um ohne Verwendung eines abhörsicheren Kommunikationskanals ein gemeinsames Geheimnis zu bestimmen, das als Parameter eines Verschlüsselungsverfahrens gewählt werden kann. Dieses Verfahren ist heute weit verbreitet. Seine Sicherheit beruht auf dem diskreten Logarithmusproblem, für welches keine schnelle Lösung bekannt ist. Für die kleine Primzahl n = 113 soll die Methode durch Rechnungen per Hand von allen Teilnehmer(inne)n ausgeführt werden. Besondere Vorkenntnisse sind für dieses Thema aus der Zahlentheorie nicht erforderlich.

Workshop 4: Parabeln noch von Hand gemacht - Parabel als geometrischer Ort in der Mittelstufe

In diesem Workshop sollen Parabeln mit der Hand hergestellt werden und zwar mit Werkzeugen wie Nadel und Faden, Hammer und Styroporsäge. Dabei steht der Ansatz „Mathematik begreifen“ im Mittelpunkt der Arbeit. In Werkstätten soll die Parabel in unterschiedlichen Ausprägungen handelnd erfahren werden. Wenn die Schülerinnen und Schüler den Funktionsterm kennen, können sie versuchen, ihre hergestellten Parabeln durch Terme zu beschreiben. Sie stoßen dabei auf Zusammenhänge, die bei einem rein funktionalen Zugang nur schwerlich zu finden sind. Ein Aspekt ist z.B. die Frage, wie eine Tangente an die Parabel konstruiert werden kann ohne Kenntnis der Analysis. Neben dem fachlichen Aspekt spielt hier die Unterrichtsmethode eine wesentliche Rolle. Eigenverantwortlich suchen sich die Schülerinnen und Schüler die Werkstatt und damit das Werkzeug aus und arbeiten selbstständig. Bei der Arbeit in der Werkstatt ist die Kommunikation zwischen den Mitgliedern unabdingbar, damit das Produkt auch vorzeigbar ist. Bei einer anschließenden Präsentation muss das Produkt in den Gesamtzusammenhang „Parabel als Funktion und geometrischer Ort“ gestellt werden. Die Parabelobjekte aus allen Werkstätten führen dann zu einer Vernetzung, die es den Schülerinnen und Schülern hoffentlich ermöglicht, später in unterschiedlichen Kontexten – auch nicht mathematisch – die Parabel als Modellierungsmodell zu erkennen, einzusetzen und das Ergebnis kritisch zu beurteilen.

Workshop 5: Zaubern mit Mathematik

In arbeitsteiliger Gruppenarbeit werden die Schülerinnen und Schüler verschiedene mathematische Zaubertricks analysieren. Dabei soll der Trick so verstanden werden, dass er anschließend den anderen Gruppen vorgeführt werden kann. Die mathematischen Inhalte sind dabei häufig schon mit den Kenntnissen der 5. Klasse bearbeitbar (Grundrechenarten). Im Kern geht es in diesem Workshop um das Erarbeiten von Problemlösestrategien, das Variieren von Aufgaben und (teilweise) das Entwickeln eigener Fragestellungen, die bis in die Zahlentheorie führen können. Und ganz nebenbei kann man zum „großen Magier“ werden und mit dem Gelernten seine Freunde und Bekannten verblüffen. Zielgruppe für diesen Workshop sind Schülerinnen und Schüler ab der Jahrgangsstufe 9.

Workshop 6: Ein Flug mit der Spidercam – als Einstieg in die Analytische Geometrie

Die Spidercam ist ein computergesteuertes Seilsystem für dreidimensionale Kamerafahrten, das bei Großveranstaltungen, wie z. B. Fußballspielen zum Einsatz kommt. Getragen von vier Seilen lässt sich die Kamera zu jedem Punkt des Platzes dirigieren, auch in unterschiedlichen Höhen. Die Seile sind an vier Masten an den Ecken des Platzes befestigt, über Winden werden die Seile verkürzt oder verlängert. Darüber hinaus lässt sich auch noch die Kamera um zwei Achsen drehen. In dem Workshop werden die Teilnehmerinnen und Teilnehmer zunächst ein Modell des Kamerasystems bauen, um eine anschauliche Vorstellung der Steuerung zu bekommen. Anschließend werden sie in Gruppen an unterschiedlichen Schwerpunkten arbeiten:

• Darstellung der räumlichen Situation in verschiedenen Koordinatensystemen (kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten)
• Abstandsberechnungen zur Steuerung der Kamera durch die Veränderung der Seillängen
• Winkelberechnungen bei der Drehung der Kamera
• Kräfte beim Ziehen an den Seilen (Vektoraddition)
• Modellierung der Seile und der Flugbahnen durch Geraden im Raum

Workshop 7: Randomized-Response-Technik oder: Wie man auch auf unangenehme Fragen gute Antworten erhält.

Fragen wie: "Hast du schon einmal geklaut?" oder "Hast du schon einmal in einer Klausur geschummelt?" werden in der Regel nicht wahrheitsgemäß beantwortet, wenn man Personen direkt befragt. Mithilfe einer bestimmten Fragetechnik (der Randomized-Response-Technik) kommt man der Wahrheit ein Stück näher. Im Workshop wird das Verfahren anhand von Computersimulationen vorgestellt. Die Teilnehmer erhalten dann selbst die Möglichkeit, einen Fragebogen zu entwickeln und innerhalb des Workshops auszuwerten. Besonderer Wert wird dabei auf die Analyse der Stabilität der Ergebnisse einer solchen Auswertung gelegt. Die Teilnehmerinnen und Teilnehmer sollten Grundlagen der Stochastik (Umgang mit Wahrscheinlichkeitsbäumen und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten) bereits im Unterricht behandelt haben.

Workshop 8: Splines

Durch zwei Punkte kann man immer eine Gerade legen, durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, kann man eine Parabel legen. Was macht man aber, wenn man sehr viele Punkte hat und durch diese einen Funktionsgraphen legen soll? So etwas kommt häufig in Anwendungen vor. Die erste Idee ist vielleicht, bei 10 Punkten ein Polynom 11. Grades zu verwenden. Mit einem Computeralgebrasystem ist das kein technisches Problem mehr, das Ergebnis ist aber in den seltensten Fällen befriedigend. Ein anderer Ansatz geht von Funktionen aus, die stückweise zusammengesetzt werden. Dabei ist besonders auf die Nahtstellen zwischen den Funktionsstücken zu achten, denn dort sollen weder Sprünge noch Knicke auftreten. Bei der technischen Durchführung hilft auch in diesem Fall das Computeralgebrasystem. Im Workshop werden die beiden Ansätze verfolgt und miteinander verglichen. Zum Verständnis der Splines sind Kenntnisse in der Differentialrechnung erforderlich. Es werden keine Kenntnisse im Umgang mit einem Computeralgebrasystem vorausgesetzt. Für die Teilnehmer stehen entsprechende Geräte zur Verfügung.