Neue Bücher der Fakultätsbibliothek vom 31.05.2023
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Algebraische Geometrie
Die algebraische Geometrie befasst sich mit geometrischen Gebilden, die durch algebraische Gleichungen gegeben sind. Ein einfaches Beispiel ist die Gleichung des Kreises: x^2+y^2=1. Allgemeiner lernt man in der Schule auch die Ellipse (x/a)^2+(y/b)^2=1 oder den Kegel x^2+y^2=z^2 im dreidimensionalen Raum kennen. Allgemeiner beschäftigt man sich mit geometrischen Gebilden in Räumen beliebiger Dimension, die durch endlich viele polynomiale Gleichungen definiert werden. Solche Gebilde werden Varietäten genannt. Ihre geometrische Eigenschaften werden mit algebraischen, topologischen und analytischen Hilfsmitteln untersucht.
Eine wichtige Erkenntnis ist, dass es zur Formulierung vieler geometrischer Sachverhalte außerordentlich nützlich ist, auch die unendlich fernen Punkte zu diesen Varietäten hinzuzunehmen. Nimmt man zum n-dimensionalen affinen Raum R^n noch die unendlich fernen Punkte hinzu, so entsteht beispielsweise der n-dimensionale projektive Raum.
Methoden der algebraischen Geometrie spielen heute in vielen Bereichen der Mathematik und auch, vor allem in der neueren Zeit, der Physik eine wichtige Rolle. Bespielsweise hat die systematische Anwendung geometrischer Methoden in der Zahlentheorie, die erstmals von der Schule von Grothendieck propagiert wurde, in den letzten Jahrzehnten zu spektakulären Fortschritten bis hin zur Lösung des Fermat'schen Problems geführt.
Problem
Es gibt viele elementar zu formulierende Probleme der algebraischen Geometrie, die bis heute ungelöst sind. Als Beispiel sei das folgende genannt:
Kann man jede singularitätenfreie vierdimensionale Varietät im 6-dimensionalen projektiven Raum durch zwei Gleichungen beschreiben?
Dabei heißt "singularitätenfrei" anschaulich gesprochen, dass die Varietät keine Spitzen und Kanten besitzt. Allgemein sind Erkenntnisse über die Anzahl von Gleichungen, die zur Beschreibung von höherdimensionalen Gebilden nötig sind, eine der ganz großen Herausforderungen der algebraischen Geometrie.
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