Arrangements of complex reflection groups: Geometry and combinatorics
Bei einer neuen Ausschreibung eines Schwerpuntktprogramms der DFG zum Thema "Algorithmic and Experimental Methods in Algebra, Geometry and Number Theory" (SPP1489) war Prof. Dr. G. Röhrle mit einem Antrag zum Thema "Arrangements of complex reflection groups: Geometry and combinatorics" erfolgreich. Im Rahmen des von der DFG geförderten Forschungsprojektes von Herrn Röhrle wird eine Doktorandenstelle an der Fakultät eingerichtet. Hier eine kurze Zusammenfassung des Forschungsprojektes:
In einer gemeinsamen Arbeit mit Hoge gelang jüngst durch einen Computer-unterstützten Beweis die Bestätigung einer Vermutung von Orlik und Terao von 1992
über die Frage nach der Freiheit von Einschränkungen von
Spiegelungsarrangements von komplexen Spiegelungsgruppen.
Diese Einschränkungen sind für das Verständnis des
zugrundeliegenden Arrangements von großer Bedeutung.
Gegenstand dieser Forschungsvorhaben ist es, weitere
kombinatorische und geometrische Eigenschaften
von Spiegelungsarrangements zu untersuchen.
Dabei konzentrieren wir uns auf folgende Schwerpunkte.
Erst kürzlich konnte Bessis die sogenannte
K(\pi,1)-Eigenschaft für alle Spiegelungsarrangements nachweisen,
und damit eine wichtige Vermutung aus den 1980er Jahren bestätigen.
Orlik und Terao vermuteten in den 1990er Jahren, dass diese
Eigenschaft auch für alle Einschränkungen von Spiegelungsarrangements gilt.
Für Coxeter Gruppen ist dies dank der bahnbrechenden Arbeit von Deligne
seit 1972 bekannt.
Unser erstes Ziel in diesem Vorhaben ist es, diese
Vermutung zu beweisen, die zu einem
besseren Verständnis der topologischen und geometrischen Natur von
Spiegelungsarrangements beitragen wird.
Der von Saito eingeführte Begriff der
Freiheit spielt eine Schlüsselrolle im Verständnis von
Hyperebenenarrangements.
Neben diesem gibt es den stärkeren Begriff der
induktiven Freiheit und den etwas schwächeren
von rekursiver Freiheit.
Es ist seit langem bekannt, dass freie Arrangements
nicht notwendigerweise induktiv frei sind.
Umgekehrt ist es jedoch eine seit 1992 nach wie vor offene Vermutung von
Orlik und Terao, ob jedes freie Arrangement bereits
rekursiv frei ist.
In einer jüngeren gemeinsamen Arbeit mit Hoge
wurde die Klasse von induktiv freien Spiegelungsarrangements
bestimmt.
In unserem zweiten Forschungsvorhaben wollen wir uns
Fragen von Freiheit von Spiegelungsarrangements
und deren Einschränkungen
widmen und insbesondere die gerade angesprochene
Vermutung von Orlik und Terao
für Spiegelungsarrangements bestätigen.
Die Durchführung dieser Vorhaben wird zu einem tieferen
Verständnis sowohl von komplexen Spiegelungsgruppen und
ihren Arrangements, als auch darüberhinaus von allgemeinen
Hyperebenenarrangements beitragen.
Zur Homepage von Prof. Dr. G. Röhrle.