Forschungsgebiete von Brice Franke

Stochastische Analysis auf Mannigfaltigkeiten

In der stochastischen Analysis werden zufällige Pfade studiert, die zum Beispiel die Bewegungen eines physikalischen Teilchens beim Auftreten zufälliger Störungen beschreiben. Unterliegen dieses Teilchen physikalischen Nebenbedingungen, so ist die Bewegung auf eine Mannigfaltigkeit eingeschränkt. Wird das Teilchen zusätzlich von einem Strömungs-Vektorfeld getrieben, so zerlegt sich die Bewegung des Teilchens auf der Mannigfaltigkeit in zwei Komponenten: deterministischer Drift und zufällige Störungen. Unter gewissen Voraussetzungen nähert sich solch ein System einem Gleichgewichts-Zustand. Die Geschwindigkeit der Konvergenz gegen diesen Zustand ist für viele Anwendungen interessant.
Mich interessiert in diesem Zusammenhang, ob das Auftreten von Drift zu einer Beschleunigung der Konvergenz-Geschwindigkeit führt.

Eigenwertprobleme für Gebiete

Will man mit einer vorgegebenen Oberfläche eine Trommel bauen, die einen möglichst tiefen Bass-Ton produziert, so erreicht man dies durch eine kreisförmige Trommel. Diese Tatsache wurde von Lord Rayleigh am Ende des neunzehnten Jahrhunderts vermutet und in den dreißiger Jahren von Faber und Krahn bewiesen. Mathematisch geht es darum den kleinsten Eigenwert von Dirichlet Randwertproblemen auf Gebieten zu vergleichen. Der Umstand, dass der Kreis die Lösung des isoperimetrischen Problems ist, bei dem zu vorgegebener Oberfläche das Gebiet mit der kleinsten Rand-Länge gesucht wird, bildet die Basis für den Beweis der Vermutung.
Mich interessiert hier, ob es Möglichkeiten gibt, die kleinsten Dirichlet-Eigenwerte von Gebieten zu vergleichen, von denen nicht notwendigerweise eines kreisförmig ist.

Levy-Prozesse

Levy-Prozesse sind stochastische Prozesse mit unabhängigen und stationären Zuwächsen. In der Klasse der Levy-Prozesse nehmen die stabilen Prozesse eine wesentliche Rolle ein. Diese sind invariant unter Skalierungen und sind daher natürliche Kandidaten für Grenzverteilungen. Ein Beispiel für einen stabilen Levy-Prozeß ist die Brownsche Bewegung, die ursprünglich die Bewegung von relativ schweren Fettmoleküen in Milch beschreiben sollte, und inzwischen in logarithmierter Form zur Beschreibung der Bewegung von Aktienkursen verwendet wird. Mit Ausnahme der Brownschen Bewegung haben stabile Levy-Prozesse Zuwächse, deren Wahrscheinlichkeiten bei zunehmender Größe nur sehr langsam abnehmen. Da dies den Beobachtungen an den Aktienmärkten entspricht, greift man in fortgeschrittenen Aktienkurs-Modellen gerne auf stabile Levy-Prozesse zurück.
Mich interessiert unter welchen Umständen Grenzwertsätze gegen stabile Levy-Prozesse bewiesen werden können.

Versicherungsmathematik

Die Basel 2 Verordnung regelt die Höhe der Rücklagen, die Versicherungen für den Fall besonders großer Schadensforderungen bereithalten müssen. Hier treten zwei Problematiken auf, die mathematisch interessant sind. Einerseits ist man an den Wahrscheinlichkeiten großer Schäden interessiert, wobei auch hier langsam abfallende Wahrscheinlichkeiten beobachtet werden (siehe Levy-Prozesse). Andererseits ist es wichtig Abhängigkeiten in den verwendeten Modellen zu verstehen, da diese zu kumulierten Schäden führen können.
Mich interessiert hier die Extremwerttheorie mehr-dimensionaler Zufallsvektoren mit abhängigen Komponenten.